Comment déterminer les extrema… : En paramétrant C par une base de H pour… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction sous contrainte d'égalités linéaires dans des cas simples ?

En paramétrant $\mathcal{C}$ par une base de $H$ pour se ramener à un problème libre

Transformer le problème d'optimisation sous contraintes en un problème libre sur $\mathbb{R}^{n-p}$ par paramétrage.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2$ sous la contrainte $x + y = 2$ par paramétrage.

L'objectif

Transformer le problème d'optimisation sous contraintes en un problème libre sur $\mathbb{R}^{n-p}$ par paramétrage.

Le principe

Si $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $(v_1,\dots,v_{n-p})$ base de $H$ , alors tout $x \in \mathcal{C}$ s'écrit $x = x^* + t_1 v_1 + \dots + t_{n-p} v_{n-p}$ , et optimiser $f$ sur $\mathcal{C}$ revient à optimiser $\varphi(t_1,\dots,t_{n-p}) = f(x^* + \sum t_j v_j)$ sur $\mathbb{R}^{n-p}$ sans contrainte.

La méthode

1
Je détermine une solution particulière $x^* \in \mathcal{C}$ et une base $(v_1,\dots,v_{n-p})$ de $H$ .
2
Je définis $\varphi \colon \mathbb{R}^{n-p} \to \mathbb{R}$ par $\varphi(t) = f(x^* + t_1 v_1 + \dots + t_{n-p} v_{n-p})$ .
3
J'effectue l'optimisation libre de $\varphi$ : calcul de $\nabla \varphi$ , résolution de $\nabla \varphi = 0$ , étude de la hessienne si nécessaire.
4
Je reviens à $x = x^* + \sum t_j v_j$ pour exprimer les extrema en coordonnées initiales et conclure sur leur nature (min/max local ou global).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2$ sous la contrainte $x + y = 2$ par paramétrage.

Étape 1 —

Je détermine une solution particulière

x^* \in \mathcal{C}

et une base

(v_1,\dots,v_{n-p})

H

Solution particulière $x^* = (1,1)$ ; $H = \mathrm{Vect}((1,-1))$ , base $v_1 = (1,-1)$ .

Étape 2 —

Je définis

\varphi \colon \mathbb{R}^{n-p} \to \mathbb{R}

par

\varphi(t) = f(x^* + t_1 v_1 + \dots + t_{n-p} v_{n-p})

$\varphi(t) = f(1 + t, 1 - t) = (1+t)^2 + (1-t)^2 = 2 + 2 t^2$ .

Étape 3 —

J'effectue l'optimisation libre de

\varphi

: calcul de

\nabla \varphi

, résolution de

\nabla \varphi = 0

, étude de la hessienne si nécessaire.

$\varphi'(t) = 4t$ , qui s'annule en $t = 0$ ; $\varphi''(t) = 4 > 0$ , donc $t = 0$ est un minimum strict global de $\varphi$ .

Étape 4 —

Je reviens à

x = x^* + \sum t_j v_j

pour exprimer les extrema en coordonnées initiales et conclure sur leur nature (min/max local ou global).

Retour aux coordonnées : $t = 0$ correspond à $(x,y) = (1,1)$ avec $f = 2$ ; c'est le minimum global de $f$ sur $\mathcal{C}$ .

$\min f = 2$ en $(1,1)$ .

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Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction sous contrainte d'égalités linéaires dans des cas simples ?

En paramétrant C\mathcal{C}C par une base de HHH pour se ramener à un problème libre

Pour comprendre, fais des exercices !

En paramétrant $\mathcal{C}$ par une base de $H$ pour se ramener à un problème libre