Comment déterminer le spectre d'une matrice triangulaire ?

En lisant directement les coefficients diagonaux de la matrice

Déterminer l'ensemble des valeurs propres d'une matrice triangulaire sans calcul supplémentaire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble des valeurs propres d'une matrice triangulaire sans calcul supplémentaire.

Le principe

Pour une matrice triangulaire $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , le spectre est exactement l'ensemble $\{t_{i,i},\ 1 \leq i \leq n\}$ des coefficients diagonaux.

La méthode

1
Je vérifie que la matrice $A$ est triangulaire (supérieure, inférieure ou diagonale) en contrôlant que tous les coefficients d'un côté de la diagonale sont nuls.
2
Je lis les coefficients diagonaux $a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}$ et j'écris $\mathrm{Sp}(A) = \{a_{1,1}, \dots, a_{n,n}\}$ en supprimant les doublons.
3
Je conclus en énumérant les valeurs propres distinctes, éventuellement avec leur multiplicité en tant que coefficient diagonal.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la matrice

A

est triangulaire (supérieure, inférieure ou diagonale) en contrôlant que tous les coefficients d'un côté de la diagonale sont nuls.

La matrice $A$ est triangulaire supérieure puisque tous les coefficients sous la diagonale sont nuls.

Étape 2 —

Je lis les coefficients diagonaux

a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}

et j'écris

\mathrm{Sp}(A) = \{a_{1,1}, \dots, a_{n,n}\}

en supprimant les doublons.

Les coefficients diagonaux sont $2$ , $3$ et $7$ , tous distincts.

Étape 3 —

Je conclus en énumérant les valeurs propres distinctes, éventuellement avec leur multiplicité en tant que coefficient diagonal.

Ainsi $\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3, 7\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3, 7\}$ .

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