Comment comparer deux estimateurs ou deux intervalles de confiance ?

En comparant biais et variance de deux estimateurs ponctuels du même paramètre

L'objectif

Décider entre deux estimateurs ponctuels $T_n^{(1)}$ et $T_n^{(2)}$ du même paramètre $g(\theta)$ en comparant leur biais et leur variance.

Le principe

Un estimateur $T_n$ est sans biais si $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ pour tout $\theta$ ; à biais nul ou négligeable, l'estimateur de variance la plus faible est préférable car plus concentré autour de $g(\theta)$ .

La méthode

1
Je calcule pour chaque estimateur $T_n^{(i)}$ l'espérance $E_\theta(T_n^{(i)})$ puis le biais $b_i(\theta) = E_\theta(T_n^{(i)}) - g(\theta)$ , en précisant les hypothèses d'existence.
2
Je calcule la variance $V_\theta(T_n^{(i)})$ en exploitant l'indépendance des $X_j$ et la bilinéarité.
3
Si les deux estimateurs sont sans biais (ou de biais comparable tendant vers $0$ ), je compare leurs variances et je retiens celui de variance minimale.
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
4
Je conclus en justifiant le choix : moindre dispersion autour de $g(\theta)$ , éventuellement meilleure vitesse de convergence en probabilité via Bienaymé-Tchebychev.
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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