Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?

En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de $\{1,\dots,n\}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1,\dots,X_{10}$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$ . On pose $S=X_1+\dots+X_5$ et $T=X_6+\dots+X_{10}$ . Montrer que $S$ et $T$ sont indépendantes.

La méthode

1
Je vérifie que les variables initiales $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes (c'est l'hypothèse centrale du lemme).
2
Je décris précisément la partition $\{1,\dots,n\}=I_1\sqcup \dots \sqcup I_p$ en blocs disjoints adaptée au problème.
3
Je définis les variables coalisées $Y_j=g_j((X_i)_{i\in I_j})$ pour $j=1,\dots,p$ , en explicitant chaque fonction $g_j$ .
4
J'invoque le lemme des coalitions (admis au BO) pour conclure que $Y_1,\dots,Y_p$ sont mutuellement indépendantes, sans calcul supplémentaire.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $X_1,\dots,X_{10}$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$ . On pose $S=X_1+\dots+X_5$ et $T=X_6+\dots+X_{10}$ . Montrer que $S$ et $T$ sont indépendantes.

1

Les $X_1,\dots,X_{10}$ sont mutuellement indépendantes par hypothèse.

2

Je pose la partition $I_1=\{1,\dots,5\}$ et $I_2=\{6,\dots,10\}$ , qui sont disjoints et d'union $\{1,\dots,10\}$ .

3

Je définis $S=g_1(X_1,\dots,X_5)$ avec $g_1(a_1,\dots,a_5)=a_1+\dots+a_5$ et $T=g_2(X_6,\dots,X_{10})$ de la même façon.

4

Par le lemme des coalitions, $S$ et $T$ sont indépendantes (et on reconnaît $S,T\sim \mathcal{B}(5,p)$ ).

$S$ et $T$ sont indépendantes.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la variance d'une somme

V(X_1+\cdots+X_n)

avec ou sans indépendance ?

Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?

En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de {1,…,n}\{1,\dots,n\}{1,…,n}

Pour comprendre, passons aux exercices.

En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de $\{1,\dots,n\}$