Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ? | MetMat

Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?

En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de $\{1,\dots,n\}$

Obtenir sans calcul l'indépendance de variables $Y_j=g_j(X_{i_1^{(j)}},\dots)$ construites sur des sous-familles disjointes d'un $n$ -uplet mutuellement indépendant.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1,\dots,X_{10}$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$ . On pose $S=X_1+\dots+X_5$ et $T=X_6+\dots+X_{10}$ . Montrer que $S$ et $T$ sont indépendantes.

L'objectif

Obtenir sans calcul l'indépendance de variables $Y_j=g_j(X_{i_1^{(j)}},\dots)$ construites sur des sous-familles disjointes d'un $n$ -uplet mutuellement indépendant.

Le principe

Lemme des coalitions (admis au BO) : si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et si $\{1,\dots,n\}=I_1\sqcup \dots \sqcup I_p$ est une partition en blocs disjoints, alors pour toutes fonctions $g_1,\dots,g_p$ les variables $Y_j=g_j((X_i)_{i\in I_j})$ sont mutuellement indépendantes.

La méthode

1
Je vérifie que les variables initiales $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes (c'est l'hypothèse centrale du lemme).
2
Je décris précisément la partition $\{1,\dots,n\}=I_1\sqcup \dots \sqcup I_p$ en blocs disjoints adaptée au problème.
3
Je définis les variables coalisées $Y_j=g_j((X_i)_{i\in I_j})$ pour $j=1,\dots,p$ , en explicitant chaque fonction $g_j$ .
4
J'invoque le lemme des coalitions (admis au BO) pour conclure que $Y_1,\dots,Y_p$ sont mutuellement indépendantes, sans calcul supplémentaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X_1,\dots,X_{10}$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$ . On pose $S=X_1+\dots+X_5$ et $T=X_6+\dots+X_{10}$ . Montrer que $S$ et $T$ sont indépendantes.

Étape 1 —

Je vérifie que les variables initiales

X_1,\dots,X_n

sont mutuellement indépendantes (c'est l'hypothèse centrale du lemme).

Les $X_1,\dots,X_{10}$ sont mutuellement indépendantes par hypothèse.

Étape 2 —

Je décris précisément la partition

\{1,\dots,n\}=I_1\sqcup \dots \sqcup I_p

en blocs disjoints adaptée au problème.

Je pose la partition $I_1=\{1,\dots,5\}$ et $I_2=\{6,\dots,10\}$ , qui sont disjoints et d'union $\{1,\dots,10\}$ .

Étape 3 —

Je définis les variables coalisées

Y_j=g_j((X_i)_{i\in I_j})

pour

j=1,\dots,p

, en explicitant chaque fonction

g_j

Je définis $S=g_1(X_1,\dots,X_5)$ avec $g_1(a_1,\dots,a_5)=a_1+\dots+a_5$ et $T=g_2(X_6,\dots,X_{10})$ de la même façon.

Étape 4 —

J'invoque le lemme des coalitions (admis au BO) pour conclure que

Y_1,\dots,Y_p

sont mutuellement indépendantes, sans calcul supplémentaire.

Par le lemme des coalitions, $S$ et $T$ sont indépendantes (et on reconnaît $S,T\sim \mathcal{B}(5,p)$ ).

$S$ et $T$ sont indépendantes.

Application guidée

Soient $X_1,X_2,X_3,X_4$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{E}(1)$ . Montrer que $A=\max(X_1,X_2)$ et $B=X_3+X_4$ sont indépendantes.

Application autonome 1

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables i.i.d. de loi $\mathcal{N}(0,1)$ . Montrer que $\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k$ et $X_{n+1}\sim \mathcal{N}(0,1)$ indépendante des précédentes sont indépendantes.

Application autonome 2

Soient $X_1,\dots,X_6$ des variables mutuellement indépendantes à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Montrer que $U=X_1^2+X_2$ , $V=X_3 X_4$ et $W=\min(X_5,X_6)$ sont mutuellement indépendantes.

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3, X_4$ des variables mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{N}(0, 1)$ . Montrer que $A = X_1^2 + X_2^2$ et $B = \sin(X_3) + X_4$ sont indépendantes.

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En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de {1,…,n}\{1,\dots,n\}{1,…,n}

Pour comprendre, fais des exercices !

En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de $\{1,\dots,n\}$