Comment utiliser un polynôme… : En testant chaque racine de Q pour… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?

En testant chaque racine de $Q$ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre

Transformer la liste des candidats (racines de $Q$ ) en le spectre effectif en testant chaque racine.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $Q(X) = (X-1)(X-2)$ un polynôme annulateur. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

L'objectif

Transformer la liste des candidats (racines de $Q$ ) en le spectre effectif en testant chaque racine.

Le principe

L'inclusion $\mathrm{Sp}(f) \subset \{\text{racines de } Q\}$ n'est pas toujours une égalité : une racine $\lambda$ est valeur propre ssi $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}) \neq \{0\}$ .

La méthode

1
Je liste les racines $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ d'un polynôme annulateur $Q$ de $f$ : ce sont les candidats.
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je résous le système $(A - \lambda_i I_n) X = 0$ et je regarde s'il admet une solution non nulle.
3
Je retiens dans $\mathrm{Sp}(f)$ uniquement les $\lambda_i$ pour lesquels $\ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}) \neq \{0\}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $Q(X) = (X-1)(X-2)$ un polynôme annulateur. Déterminer $\mathrm{Sp}(A)$ .

Étape 1 —

Je liste les racines

\lambda_1, \dots, \lambda_r

d'un polynôme annulateur

Q

f

: ce sont les candidats.

Les racines de $Q$ sont $1$ et $2$ , donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{1, 2\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

\lambda_i

, je résous le système

(A - \lambda_i I_n) X = 0

et je regarde s'il admet une solution non nulle.

Pour $\lambda = 1$ : $A - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ inversible, donc $\ker(A - I_2) = \{0\}$ . Pour $\lambda = 2$ : $A - 2 I_2 = 0$ , donc $\ker(A - 2 I_2) = \mathbb{R}^2 \neq \{0\}$ .

Étape 3 —

Je retiens dans

\mathrm{Sp}(f)

uniquement les

\lambda_i

pour lesquels

\ker(f - \lambda_i \mathrm{Id}) \neq \{0\}

Seule $2$ est effectivement valeur propre : $\mathrm{Sp}(A) = \{2\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) = \{2\}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?

En testant chaque racine de QQQ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre

Pour comprendre, fais des exercices !

En testant chaque racine de $Q$ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre