Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ?

En développant ${}^t H A H = \sum_{i,j} a_{ij} h_i h_j$

Écrire concrètement la fonction quadratique associée à une matrice symétrique $A$ en coordonnées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Donner l'expression développée de $q(h_1,h_2) = {}^t H A H$ .

L'objectif

Écrire concrètement la fonction quadratique associée à une matrice symétrique $A$ en coordonnées.

Le principe

Pour $A = (a_{ij}) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $H = {}^t(h_1,\dots,h_n)$ , la fonction quadratique est $q(h) = {}^t H A H = \sum_{i=1}^n a_{ii} h_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_{ij} h_i h_j$ .

La méthode

1
Je lis les coefficients $a_{ij}$ de la matrice symétrique $A$ , en distinguant les termes diagonaux $a_{ii}$ et les termes extra-diagonaux $a_{ij}$ pour $i<j$ .
2
J'écris $q(h) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} h_i h_j$ , puis je regroupe : $q(h) = \sum_{i=1}^n a_{ii} h_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_{ij} h_i h_j$ (car $a_{ij} = a_{ji}$ par symétrie).
3
Je conclus en donnant l'expression développée de $q$ sous forme d'un polynôme homogène de degré $2$ en $(h_1,\dots,h_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Donner l'expression développée de $q(h_1,h_2) = {}^t H A H$ .

Étape 1 —

Je lis les coefficients

a_{ij}

de la matrice symétrique

A

, en distinguant les termes diagonaux

a_{ii}

et les termes extra-diagonaux

a_{ij}

pour

i<j

.

Coefficients : $a_{11} = 2$ , $a_{22} = 3$ (diagonaux), $a_{12} = a_{21} = 1$ (extra-diagonal).

Étape 2 —

J'écris

q(h) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} h_i h_j

, puis je regroupe :

q(h) = \sum_{i=1}^n a_{ii} h_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_{ij} h_i h_j

(car

a_{ij} = a_{ji}

par symétrie).

$q(h) = a_{11} h_1^2 + a_{22} h_2^2 + 2 a_{12} h_1 h_2 = 2 h_1^2 + 3 h_2^2 + 2 h_1 h_2$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant l'expression développée de

q

sous forme d'un polynôme homogène de degré

2

en

(h_1,\dots,h_n)

.

Donc $q(h_1,h_2) = 2 h_1^2 + 2 h_1 h_2 + 3 h_2^2$ .

$q(h_1,h_2) = 2 h_1^2 + 2 h_1 h_2 + 3 h_2^2$ .

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