Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2^n>0$ et $n!>0$, donc $u_n>0$ ; la méthode du rapport s'applique.

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$. Cette quantité vaut $2\ge 1$ pour $n=0$, $1$ pour $n=1$, et $\frac{2}{n+1}<1$ pour $n\ge 2$.

$(u_n)$ est donc croissante jusqu'à $n=1$ (en fait $u_0=1$, $u_1=u_2=2$) puis strictement décroissante à partir de $n=2$.