Comment étudier le sens de… : En utilisant le signe de la dérivée de f… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

En utilisant le signe de la dérivée de $f$ lorsque $u_n = f(n)$

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ de la forme $u_n=f(n)$ par étude de $f$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n\,\mathrm{e}^{-n}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ de la forme $u_n=f(n)$ par étude de $f$ .

Le principe

Si $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et $f'\ge 0$ (resp. $\le 0$ ) sur $[N,+\infty[$ , alors $f$ est croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle, et la suite $u_n=f(n)$ hérite de la même monotonie pour $n\ge N$ .

La méthode

1
J'identifie $f$ telle que $u_n=f(n)$ , je vérifie que $f$ est définie et dérivable sur $[0,+\infty[$ (ou sur $[N,+\infty[$ ).
2
Je calcule $f'(x)$ et j'étudie son signe sur l'intervalle considéré, en dressant éventuellement un tableau de variations.
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
Je transfère la monotonie de $f$ à la suite $(u_n)$ : si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[N,+\infty[$ , alors $(u_n)_{n\ge N}$ est croissante (resp. décroissante).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n\,\mathrm{e}^{-n}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

J'identifie

f

telle que

u_n=f(n)

, je vérifie que

f

est définie et dérivable sur

[0,+\infty[

(ou sur

[N,+\infty[

Je pose $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}$ pour $x\ge 0$ : $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et $u_n=f(n)$ .

Étape 2 —

Je calcule

f'(x)

et j'étudie son signe sur l'intervalle considéré, en dressant éventuellement un tableau de variations.

$f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\,\mathrm{e}^{-x}=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ . Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x$ : $f$ est croissante sur $[0,1]$ et décroissante sur $[1,+\infty[$ .

Étape 3 —

Je transfère la monotonie de

f

à la suite

(u_n)

: si

f

est croissante (resp. décroissante) sur

[N,+\infty[

, alors

(u_n)_{n\ge N}

est croissante (resp. décroissante).

Donc $(u_n)$ est croissante de $n=0$ à $n=1$ ( $u_0=0,\ u_1=\mathrm{e}^{-1}$ ) puis strictement décroissante à partir de $n=1$ .

$(u_n)$ croît jusqu'à $n=1$ puis décroît strictement à partir de $n=1$ .

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Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

En utilisant le signe de la dérivée de fff lorsque un=f(n)u_n = f(n)un​=f(n)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant le signe de la dérivée de $f$ lorsque $u_n = f(n)$