Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

Monotonie : montrons par récurrence que $(u_n)$ est croissante. On a $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt{2} > 0 = u_0$. Si $u_n \geq u_{n-1}$, alors $u_n + 2 \geq u_{n-1} + 2$ donc $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \geq \sqrt{u_{n-1} + 2} = u_n$. La suite est croissante.

Bornitude : montrons par récurrence que $u_n \leq 2$. $u_0 = 0 \leq 2$. Si $u_n \leq 2$, alors $u_n + 2 \leq 4$, donc $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \leq \sqrt{4} = 2$. La suite est majorée par $2$.

Convergence : $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers une limite $\ell \in [0, 2]$ d'après le théorème des suites monotones bornées.

Calcul de $\ell$ : en passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, on obtient $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 = \ell + 2$, c'est-à-dire $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, d'où $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $u_n \geq 0$, on a $\ell \geq 0$, donc $\ell = 2$.