Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?

$\mathbb{R}^2$ est ouvert et $f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ : la condition nécessaire s'applique.

$\nabla f(x,y) = (2x-2,\,2y+4)$ s'annule uniquement en $(1,-2)$ : seul candidat à un extremum.

Par forme canonique : $f(x,y) = (x-1)^2 + (y+2)^2 - 2$ ; donc $f(x,y) - f(1,-2) = (x-1)^2 + (y+2)^2 \geq 0$ pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

$(1,-2)$ est donc un minimum global (et a fortiori local) de $f$ sur $\mathbb{R}^2$, de valeur $f(1,-2) = -2$.