Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En déterminant un intervalle stable par $f$ contenant $u_0$

Garantir que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien définie et bornée en restant dans un intervalle $I$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $u_n\in[1,2]$ pour tout $n$ .

L'objectif

Garantir que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien définie et bornée en restant dans un intervalle $I$ .

Le principe

Si $I$ est un intervalle tel que $u_0\in I$ et $f(I)\subset I$ , alors par récurrence immédiate $u_n\in I$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ ; l'intervalle $I$ est dit stable par $f$ .

La méthode

1
Je calcule $u_0$ (ou je le lis dans l'énoncé) et je propose un intervalle $I$ candidat, souvent en étudiant les variations de $f$ et ses points fixes.
2
Je vérifie que $f(I)\subset I$ en étudiant l'image de $I$ par $f$ (valeurs aux bornes + monotonie de $f$ sur $I$ ).
3
Je montre par récurrence sur $n$ que $u_n\in I$ : initialisation $u_0\in I$ , hérédité $u_n\in I\Rightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in f(I)\subset I$ .
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $u_n\in[1,2]$ pour tout $n$ .

Étape 1 —

Je calcule

u_0

(ou je le lis dans l'énoncé) et je propose un intervalle

I

candidat, souvent en étudiant les variations de

f

et ses points fixes.

$u_0=1\in[1,2]$ ; je conjecture que $I=[1,2]$ est stable. Sur $[1,2]$ , $f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^2}<0$ donc $f$ est décroissante.

Étape 2 —

Je vérifie que

f(I)\subset I

en étudiant l'image de

I

par

f

(valeurs aux bornes + monotonie de

f

sur

I

).

$f(1)=\frac{3}{2}\in[1,2]$ et $f(2)=\frac{4}{3}\in[1,2]$ ; par décroissance $f([1,2])=[f(2),f(1)]=[\frac{4}{3},\frac{3}{2}]\subset[1,2]$ .

Étape 3 —

Je montre par récurrence sur

n

que

u_n\in I

: initialisation

u_0\in I

, hérédité

u_n\in I\Rightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in f(I)\subset I

.

Par récurrence : $u_0=1\in[1,2]$ , et si $u_n\in[1,2]$ alors $u_{n+1}=f(u_n)\in[1,2]$ .

$\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\in[1,2]$ .

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