Comment étudier une suite définie… : En montrant que f est une fonction… — Tle spé maths | MetMat

Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En montrant que $f$ est une fonction continue d'un intervalle $I$ stable dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence des suites monotones bornées

Démontrer la convergence d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ en établissant que $f$ est stable sur un intervalle $I$ contenant tous les termes, puis en prouvant la monotonie.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ . Montrer que $f : x \mapsto \sqrt{2+x}$ est stable sur $[2, +\infty)$ et que la suite converge.

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ en établissant que $f$ est stable sur un intervalle $I$ contenant tous les termes, puis en prouvant la monotonie.

Le principe

Si $f$ est continue sur $I$ et $f(I) \subset I$ , alors $u_n \in I$ pour tout $n$ (suite bornée) ; si de plus la suite est monotone, le théorème des suites monotones bornées garantit la convergence.

La méthode

1
Chercher un intervalle $I$ stable par $f$ : vérifier que pour tout $x \in I$ , $f(x) \in I$ . Souvent, $I = [a, b]$ est guidé par la valeur initiale $u_0$ et le point fixe.
2
Démontrer par récurrence que $u_n \in I$ pour tout $n$ : $u_0 \in I$ par hypothèse, et si $u_n \in I$ alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f(I) \subset I$ .
3
Montrer la monotonie en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$ pour $u_n \in I$ (souvent via le signe de $f(x) - x$ sur $I$ ).
Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?Voir
4
Conclure : la suite est monotone et bornée (dans $I$ ), donc elle converge par le théorème des suites monotones bornées. Sa limite est le point fixe de $f$ dans $I$ .
Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ . Montrer que $f : x \mapsto \sqrt{2+x}$ est stable sur $[2, +\infty)$ et que la suite converge.

Étape 1 —

Chercher un intervalle

I

stable par

f

: vérifier que pour tout

x \in I

f(x) \in I

. Souvent,

I = [a, b]

est guidé par la valeur initiale

u_0

et le point fixe.

Pour $x \geq 2$ , $f(x) = \sqrt{2+x} \geq \sqrt{2+2} = 2$ . Donc $f([2, +\infty)) \subset [2, +\infty)$ : l'intervalle $I = [2, +\infty)$ est stable. De plus $f$ est continue sur $I$ .

Étape 2 —

Démontrer par récurrence que

u_n \in I

pour tout

n

u_0 \in I

par hypothèse, et si

u_n \in I

alors

u_{n+1} = f(u_n) \in f(I) \subset I

Par récurrence : $u_0 = 2 \in I$ . Si $u_n \geq 2$ , alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \geq 2 \in I$ . Donc $u_n \geq 2$ pour tout $n$ .

Étape 3 —

Montrer la monotonie en étudiant le signe de

u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n

pour

u_n \in I

(souvent via le signe de

f(x) - x

sur

I

Étudions le signe de $f(x) - x = \sqrt{2+x} - x$ sur $[2, +\infty)$ . On a $\sqrt{2+x} \leq x \Leftrightarrow 2+x \leq x^2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1) \geq 0$ . Pour $x \geq 2$ , c'est vrai. Donc $u_{n+1} \leq u_n$ : la suite est décroissante.

Étape 4 —

Conclure : la suite est monotone et bornée (dans

I

), donc elle converge par le théorème des suites monotones bornées. Sa limite est le point fixe de

f

dans

I

La suite est décroissante et minorée par $2$ , donc elle converge. L'équation $\ell = \sqrt{2+\ell}$ donne $\ell = 2$ (point fixe positif). La limite est $2$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) ?

En montrant que fff est une fonction continue d'un intervalle III stable dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence des suites monotones bornées

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En montrant que $f$ est une fonction continue d'un intervalle $I$ stable dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence des suites monotones bornées