Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

En reconnaissant une suite géométrique de raison $q$ et en appliquant le résultat connu selon la valeur de $q$

Calculer la limite d'une suite géométrique ou d'une expression faisant intervenir une puissance $q^n$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une suite géométrique ou d'une expression faisant intervenir une puissance $q^n$ .

Le principe

Pour une suite géométrique de raison $q$ : si $|q| < 1$ , $q^n \to 0$ ; si $q > 1$ , $q^n \to +\infty$ ; si $q = 1$ , $q^n = 1$ ; si $q \leq -1$ ou $q < -1$ , la suite diverge.

La méthode

1
Identifier que la suite est géométrique (ou contient un terme $q^n$ ) et déterminer la raison $q$ .
2
Comparer $q$ aux valeurs clés : $|q| < 1$ , $q = 1$ , $q > 1$ , $q = -1$ , $q < -1$ .
3
Appliquer le théorème correspondant : $\lim q^n = 0$ si $|q| < 1$ , $\lim q^n = +\infty$ si $q > 1$ , $q^n = 1$ si $q = 1$ , divergence si $q \leq -1$ .
4
En déduire la limite de la suite complète par les opérations sur les limites.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ .

Étape 1 —

Identifier que la suite est géométrique (ou contient un terme

q^n

) et déterminer la raison

q

.

Suite géométrique de premier terme $3$ et de raison $q = \dfrac{2}{3}$ .

Étape 2 —

Comparer

q

aux valeurs clés :

|q| < 1

,

q = 1

,

q > 1

,

q = -1

,

q < -1

.

$q = \dfrac{2}{3}$ et $|q| = \dfrac{2}{3} < 1$ .

Étape 3 —

Appliquer le théorème correspondant :

\lim q^n = 0

si

|q| < 1

,

\lim q^n = +\infty

si

q > 1

,

q^n = 1

si

q = 1

, divergence si

q \leq -1

.

Donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$ .

Étape 4 —

En déduire la limite de la suite complète par les opérations sur les limites.

$3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 3 \times 0 = 0$ .

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ .

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