Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

En appliquant le théorème des gendarmes : encadrer $u_n$ entre deux suites ayant la même limite

Calculer la limite d'une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.

Le principe

Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ pour tout $n \geq n_0$ et si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ .

La méthode

1
Identifier la limite $\ell$ que l'on conjecture pour $u_n$ (souvent $0$ ou une valeur simple).
2
Construire un encadrement $v_n \leq u_n \leq w_n$ valable pour $n \geq n_0$ , en utilisant des inégalités classiques ( $|\sin n| \leq 1$ , $|\cos n| \leq 1$ , inégalités sur les suites, etc.).
3
Vérifier que $v_n \to \ell$ et $w_n \to \ell$ (même limite pour les deux suites encadrantes).
4
Conclure par le théorème des gendarmes : $u_n \to \ell$ .
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n}$ .

Étape 1 —

Identifier la limite

\ell

que l'on conjecture pour

u_n

(souvent

0

ou une valeur simple).

On conjecture que la limite est $0$ (le $\sin n$ est borné, divisé par $n \to +\infty$ ).

Étape 2 —

Construire un encadrement

v_n \leq u_n \leq w_n

valable pour

n \geq n_0

, en utilisant des inégalités classiques (

|\sin n| \leq 1

,

|\cos n| \leq 1

, inégalités sur les suites, etc.).

Encadrement : $-1 \leq \sin n \leq 1$ , donc $\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Étape 3 —

Vérifier que

v_n \to \ell

et

w_n \to \ell

(même limite pour les deux suites encadrantes).

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ : même limite.

Étape 4 —

Conclure par le théorème des gendarmes :

u_n \to \ell

.

Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0$ .

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0$ .

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