Comment calculer la dérivée de… : En appliquant la règle de la chaîne… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ quand $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En appliquant la règle de la chaîne $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)$

Exprimer et calculer $g'(t)$ lorsque $g \colon t \mapsto f(x+th)$ est obtenue en composant une direction affine avec $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 + 2y^2$ , $x = (1,1)$ et $h = (1,-1)$ . Calculer $g(t) = f(x+th)$ puis $g'(t)$ par la règle de la chaîne, et vérifier en dérivant directement.

L'objectif

Exprimer et calculer $g'(t)$ lorsque $g \colon t \mapsto f(x+th)$ est obtenue en composant une direction affine avec $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Le principe

Si $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et si $x,h \in \mathbb{R}^n$ , alors la fonction $g \colon t \mapsto f(x+th)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_{i=1}^n h_i\,\partial_i f(x+th)$ . En particulier, $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ (hypothèse indispensable pour appliquer la règle de la chaîne).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule les dérivées partielles $\partial_i f$ et j'évalue $\nabla f(x+th) = (\partial_1 f(x+th),\ldots,\partial_n f(x+th))$ .
3
J'applique la formule de la dérivée composée : $g'(t) = \sum_{i=1}^n h_i\,\partial_i f(x+th) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle$ .
4
Si demandé, je spécialise en $t=0$ : $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ , qui est la dérivée directionnelle de $f$ en $x$ dans la direction $h$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 + 2y^2$ , $x = (1,1)$ et $h = (1,-1)$ . Calculer $g(t) = f(x+th)$ puis $g'(t)$ par la règle de la chaîne, et vérifier en dérivant directement.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^n

(hypothèse indispensable pour appliquer la règle de la chaîne).

$f$ est polynomiale sur $\mathbb{R}^2$ , donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule les dérivées partielles

\partial_i f

et j'évalue

\nabla f(x+th) = (\partial_1 f(x+th),\ldots,\partial_n f(x+th))

$\partial_1 f(u,v) = 2u$ , $\partial_2 f(u,v) = 4v$ ; en $(u,v) = x+th = (1+t, 1-t)$ : $\partial_1 f = 2(1+t)$ , $\partial_2 f = 4(1-t)$ .

Étape 3 —

J'applique la formule de la dérivée composée :

g'(t) = \sum_{i=1}^n h_i\,\partial_i f(x+th) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle

$g'(t) = 1\cdot 2(1+t) + (-1)\cdot 4(1-t) = 2+2t-4+4t = 6t - 2$ .

Étape 4 —

Si demandé, je spécialise en

t=0

g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle

, qui est la dérivée directionnelle de

f

x

dans la direction

h

Vérification directe : $g(t) = (1+t)^2 + 2(1-t)^2 = 3 + (-2)t + 3t^2$ , d'où $g'(t) = -2 + 6t$ . En $t=0$ , $g'(0) = -2 = \langle \nabla f(1,1), h\rangle = \langle (2,4),(1,-1)\rangle$ .

$g'(t) = 6t - 2$ ; en particulier $g'(0) = -2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la dérivée de g(t)=f(x+th)g(t) = f(x + th)g(t)=f(x+th) quand fff est de classe C1\mathcal{C}^1C1 ?

En appliquant la règle de la chaîne g′(t)=⟨∇f(x+th),h⟩=∑ihi ∂if(x+th)g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)g′(t)=⟨∇f(x+th),h⟩=∑i​hi​∂i​f(x+th)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ quand $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En appliquant la règle de la chaîne $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)$