Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

$(x,y) \mapsto x^2 + y^2$ est polynomiale, donc $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$.

$(x,y) \mapsto x + y$ est affine et $\exp$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, donc $(x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x+y}$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ par composition. Il vient que $(x,y) \mapsto 1 + \mathrm{e}^{x+y}$ est $\mathcal{C}^\infty$ et strictement positive (car $\mathrm{e}^{x+y} > 0$, donc $1 + \mathrm{e}^{x+y} > 1$).

Le quotient d'une fonction $\mathcal{C}^\infty$ par une fonction $\mathcal{C}^\infty$ strictement positive est $\mathcal{C}^\infty$, donc en particulier $\mathcal{C}^1$ : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$.