Comment classer un point… : En étudiant directement le signe de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

Classer un point critique quand le critère spectral ne tranche pas (valeur propre nulle), en étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^4$ .

L'objectif

Classer un point critique quand le critère spectral ne tranche pas (valeur propre nulle), en étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ .

Le principe

Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ contient $0$ , le critère spectral n'est pas concluant : il faut reprendre $f(x_0+h) - f(x_0)$ et étudier son signe à la main, en particulier en évaluant le long de courbes où la partie quadratique s'annule.

La méthode

1
Je vérifie que $x_0$ est critique et je calcule $\nabla^2 f(x_0)$ . Si $0 \in \mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ , j'identifie le cas limite.
2
Je choisis des directions $h$ particulières (souvent vecteurs propres) et j'évalue $f(x_0 + t h) - f(x_0)$ en fonction de $t$ pour détecter un signe ou un changement de signe.
3
Je compare les limites : si je trouve deux directions où $f(x_0+h) - f(x_0)$ a des signes opposés (aussi près qu'on veut de $x_0$ ), je conclus à un point selle ; sinon, je raffine avec un DL d'ordre supérieur.
4
Je formule la conclusion : minimum local, maximum local, point selle, ou absence d'extremum local.
Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^4$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

x_0

est critique et je calcule

\nabla^2 f(x_0)

. Si

0 \in \mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))

, j'identifie le cas limite.

$\nabla f(x,y) = (2x, 4 y^3)$ s'annule en $(0,0)$ . $\nabla^2 f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ : valeur propre $0$ , cas limite.

Étape 2 —

Je choisis des directions

h

particulières (souvent vecteurs propres) et j'évalue

f(x_0 + t h) - f(x_0)

en fonction de

t

pour détecter un signe ou un changement de signe.

On évalue à la main : $f(h_1, h_2) - f(0,0) = h_1^2 + h_2^4 \geq 0$ pour tout $(h_1,h_2)$ , avec égalité seulement en $(0,0)$ .

Étape 3 —

Je compare les limites : si je trouve deux directions où

f(x_0+h) - f(x_0)

a des signes opposés (aussi près qu'on veut de

x_0

), je conclus à un point selle ; sinon, je raffine avec un DL d'ordre supérieur.

Pas de direction où $f$ diminue : le signe est uniformément positif en dehors de $(0,0)$ .

Étape 4 —

Je formule la conclusion : minimum local, maximum local, point selle, ou absence d'extremum local.

Donc $(0,0)$ est un minimum local (et même global) strict de $f$ .

$(0,0)$ est un minimum local strict de $f$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En étudiant directement le signe de f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h) - f(x_0)f(x0​+h)−f(x0​) via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites