Comment étudier le signe d'une… : En évaluant q sur des vecteurs propres… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?

En évaluant $q$ sur des vecteurs propres : $q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2$

Exhiber explicitement un vecteur où $q$ est positive et un autre où $q$ est négative, pour justifier que $q$ change de signe sans passer par la diagonalisation complète.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $q$ change de signe en exhibant deux vecteurs explicites.

L'objectif

Exhiber explicitement un vecteur où $q$ est positive et un autre où $q$ est négative, pour justifier que $q$ change de signe sans passer par la diagonalisation complète.

Le principe

Si $u$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ , alors $q(u) = {}^t u A u = \lambda\, {}^t u u = \lambda \|u\|^2$ ; en particulier $q(u)$ est du signe de $\lambda$ .

La méthode

1
Je détermine (au moins) un vecteur propre $u_i$ de $A$ associé à une valeur propre $\lambda_i$ dont je connais le signe.
2
Je calcule $q(u_i) = {}^t u_i A u_i = \lambda_i \|u_i\|^2$ , ce qui donne directement le signe de $q$ sur la droite engendrée par $u_i$ .
3
Si je trouve deux valeurs propres de signes opposés, j'en conclus que $q$ change de signe en exhibant les deux vecteurs propres correspondants ; sinon, je confirme la positivité (resp. négativité) de $q$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $q$ change de signe en exhibant deux vecteurs explicites.

Étape 1 —

Je détermine (au moins) un vecteur propre

u_i

A

associé à une valeur propre

\lambda_i

dont je connais le signe.

On remarque que $u_1 = (1,1)$ est vecteur propre : $A u_1 = (4,4) = 4 u_1$ , donc $\lambda_1 = 4 > 0$ . De même $u_2 = (1,-1)$ donne $A u_2 = (-2,2) = -2 u_2$ , donc $\lambda_2 = -2 < 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

q(u_i) = {}^t u_i A u_i = \lambda_i \|u_i\|^2

, ce qui donne directement le signe de

q

sur la droite engendrée par

u_i

Calculs : $q(u_1) = 4 \|u_1\|^2 = 4\cdot 2 = 8 > 0$ et $q(u_2) = -2 \|u_2\|^2 = -2\cdot 2 = -4 < 0$ .

Étape 3 —

Si je trouve deux valeurs propres de signes opposés, j'en conclus que

q

change de signe en exhibant les deux vecteurs propres correspondants ; sinon, je confirme la positivité (resp. négativité) de

q

$q(u_1) > 0$ et $q(u_2) < 0$ : $q$ change de signe sur $\mathbb{R}^2$ .

$q(u_1) = 8$ et $q(u_2) = -4$ , donc $q$ change de signe.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?

En évaluant qqq sur des vecteurs propres : q(ui)=λi∥ui∥2q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2q(ui​)=λi​∥ui​∥2

Pour comprendre, fais des exercices !

En évaluant $q$ sur des vecteurs propres : $q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2$