Comment écrire la fonction… : En diagonalisant A orthogonalement… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ?

En diagonalisant $A$ orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$

Obtenir une forme réduite $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$ , pratique pour étudier son signe.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Écrire $q(h) = {}^t H A H$ dans une base orthonormée de vecteurs propres.

L'objectif

Obtenir une forme réduite $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$ , pratique pour étudier son signe.

Le principe

Toute matrice symétrique réelle $A$ est diagonalisable via $P$ orthogonale : $A = P D \,{}^tP$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ ; en posant $H' = {}^t P H$ , on obtient $q(h) = {}^t H A H = {}^t H' D H' = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est symétrique réelle puis je détermine ses valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (par exemple à l'aide de la trace, du déterminant ou d'un polynôme annulateur).
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Je diagonalise orthogonalement : j'obtiens une matrice orthogonale $P$ (base orthonormée de vecteurs propres) et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , telles que $A = P D \,{}^tP$ .
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Je pose $H' = {}^t P H$ (changement de coordonnées orthogonal). Comme ${}^t H A H = {}^t H' D H'$ , j'obtiens $q(h) = \sum_{i=1}^n \lambda_i (h'_i)^2$ .
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Cette forme réduite me permet de lire immédiatement le signe de $q$ à partir du signe des $\lambda_i$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Écrire $q(h) = {}^t H A H$ dans une base orthonormée de vecteurs propres.

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est symétrique réelle puis je détermine ses valeurs propres

\lambda_1,\dots,\lambda_n

(par exemple à l'aide de la trace, du déterminant ou d'un polynôme annulateur).

$A$ est symétrique réelle. $\mathrm{Tr}(A) = 6$ et $\det(A) = 8$ donnent valeurs propres $\lambda_1 = 4$ , $\lambda_2 = 2$ .

Étape 2 —

Je diagonalise orthogonalement : j'obtiens une matrice orthogonale

P

(base orthonormée de vecteurs propres) et

D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

, telles que

A = P D \,{}^tP

Vecteurs propres orthonormés : $u_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$ (pour $\lambda_1 = 4$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$ (pour $\lambda_2 = 2$ ) ; on pose $P = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je pose

H' = {}^t P H

(changement de coordonnées orthogonal). Comme

{}^t H A H = {}^t H' D H'

, j'obtiens

q(h) = \sum_{i=1}^n \lambda_i (h'_i)^2

En posant $(h'_1, h'_2) = \left(\frac{h_1+h_2}{\sqrt 2}, \frac{h_1-h_2}{\sqrt 2}\right)$ , on obtient $q(h) = 4 (h'_1)^2 + 2 (h'_2)^2$ .

Étape 4 —

Cette forme réduite me permet de lire immédiatement le signe de

q

à partir du signe des

\lambda_i

Puisque $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ , $q$ est strictement positive sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ .

$q(h) = 4 (h'_1)^2 + 2 (h'_2)^2$ , strictement positive.

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Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ?

En diagonalisant $A$ orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$