Comment calculer explicitement… : En résolvant l'équation caractéristique… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?

En résolvant l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)

Exprimer explicitement le terme général d'une suite vérifiant $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ lorsque l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet des racines réelles.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ . Exprimer $u_n$ .

L'objectif

Exprimer explicitement le terme général d'une suite vérifiant $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ lorsque l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet des racines réelles.

Le principe

Soit $r^2-ar-b=0$ l'équation caractéristique associée à $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ . Si elle admet deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ , alors $\exists!(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ ; si elle admet une racine double $r$ , alors $\exists!(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .

La méthode

1
J'écris l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ , soit $r^2-ar-b=0$ , et je calcule son discriminant $\Delta=a^2+4b$ .
Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ?Voir
2
Je discute selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta>0$ , deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ et $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ ; si $\Delta=0$ , une racine double $r=\frac{a}{2}$ et $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .
3
Je détermine les constantes $\lambda$ et $\mu$ en résolvant le système fourni par les deux conditions initiales $u_0$ et $u_1$ , puis j'écris l'expression finale de $u_n$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ . Exprimer $u_n$ .

Étape 1 —

J'écris l'équation caractéristique

r^2=ar+b

, soit

r^2-ar-b=0

, et je calcule son discriminant

\Delta=a^2+4b

L'équation caractéristique est $r^2=r+2$ , soit $r^2-r-2=0$ , de discriminant $\Delta=1+8=9>0$ .

Étape 2 —

Je discute selon le signe de

\Delta

: si

\Delta>0

, deux racines réelles distinctes

r_1,r_2

u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n

; si

\Delta=0

, une racine double

r=\frac{a}{2}

u_n=(\lambda+\mu n)r^n

Les racines sont $r_1=\frac{1+3}{2}=2$ et $r_2=\frac{1-3}{2}=-1$ , donc $u_n=\lambda\cdot 2^n+\mu\cdot(-1)^n$ .

Étape 3 —

Je détermine les constantes

\lambda

\mu

en résolvant le système fourni par les deux conditions initiales

u_0

u_1

, puis j'écris l'expression finale de

u_n

Les conditions $u_0=\lambda+\mu=0$ et $u_1=2\lambda-\mu=1$ donnent $\lambda=\frac{1}{3}$ et $\mu=-\frac{1}{3}$ , d'où $u_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}$ .

$u_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?

En résolvant l'équation caractéristique r2=ar+br^2 = ar + br2=ar+b et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)