Comment montrer qu'une suite diverge vers $\pm\infty$ ?

En invoquant qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$

Démontrer qu'une suite croissante qui n'est pas majorée tend vers $+\infty$ (symétrique pour $-\infty$ ).

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la suite $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une suite croissante qui n'est pas majorée tend vers $+\infty$ (symétrique pour $-\infty$ ).

Le principe

Toute suite réelle croissante et non majorée diverge vers $+\infty$ ; toute suite décroissante et non minorée diverge vers $-\infty$ (corollaire du théorème de la limite monotone).

La méthode

1
Je vérifie que $(u_n)$ est croissante en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$ .
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?Voir
2
Je montre que $(u_n)$ n'est pas majorée, par exemple en minorant $u_n$ par une suite tendant vers $+\infty$ ou en exhibant pour tout $M>0$ un rang $n$ tel que $u_n>M$ .
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?Voir
3
Je conclus par le théorème de la limite monotone (cas non majoré) que $u_n\to+\infty$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la suite $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

(u_n)

est croissante en étudiant le signe de

u_{n+1}-u_n

.

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>0$ , donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Étape 2 —

Je montre que

(u_n)

n'est pas majorée, par exemple en minorant

u_n

par une suite tendant vers

+\infty

ou en exhibant pour tout

M>0

un rang

n

tel que

u_n>M

.

Pour $1\le k\le n$ , $\sqrt{k}\le\sqrt{n}$ , donc $\frac{1}{\sqrt{k}}\ge\frac{1}{\sqrt{n}}$ , d'où $u_n\ge n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\to+\infty$ : $(u_n)$ n'est pas majorée.

Étape 3 —

Je conclus par le théorème de la limite monotone (cas non majoré) que

u_n\to+\infty

.

Croissante et non majorée, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ .

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer qu'une suite diverge vers $\pm\infty$ ?

En invoquant qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$