Comment montrer qu'une suite diverge vers $\pm\infty$ ?

En minorant (ou majorant) la suite par une suite divergente connue

Montrer qu'une suite diverge vers l'infini en l'encadrant par une suite de référence de limite infinie.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la limite de $u_n=\sqrt{n}+\cos n$ .

L'objectif

Montrer qu'une suite diverge vers l'infini en l'encadrant par une suite de référence de limite infinie.

Le principe

Si $u_n\ge v_n$ à partir d'un certain rang et si $v_n\to+\infty$ , alors $u_n\to +\infty$ ; de même, si $u_n\le w_n$ et $w_n\to-\infty$ , alors $u_n\to-\infty$ .

La méthode

1
J'isole dans $u_n$ un terme dominant tendant vers l'infini et un terme borné (ou négligeable).
2
Je minore (ou majore) $u_n$ par une suite $v_n$ explicite dont la limite infinie est connue.
3
J'applique le théorème de comparaison des limites pour conclure que $u_n\to+\infty$ (ou $-\infty$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la limite de $u_n=\sqrt{n}+\cos n$ .

Étape 1 —

J'isole dans

u_n

un terme dominant tendant vers l'infini et un terme borné (ou négligeable).

$\sqrt{n}\to+\infty$ et $\cos n$ est borné entre $-1$ et $1$ .

Étape 2 —

Je minore (ou majore)

u_n

par une suite

v_n

explicite dont la limite infinie est connue.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $\cos n\ge -1$ , donc $u_n\ge \sqrt{n}-1$ .

Étape 3 —

J'applique le théorème de comparaison des limites pour conclure que

u_n\to+\infty

(ou

-\infty

).

Comme $\sqrt{n}-1\to+\infty$ , par comparaison $u_n\to+\infty$ .

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ .

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