Comment calculer explicitement… : En se ramenant à une suite géométrique… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?

En se ramenant à une suite géométrique via la recherche du point fixe pour une suite arithmético-géométrique

Exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a\neq 1$ ) en fonction de $n$ .

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Reconnaître

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Exprimer $u_n$ .

L'objectif

Exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a\neq 1$ ) en fonction de $n$ .

Le principe

Si $a\neq 1$ , l'équation $\ell=a\ell+b$ admet l'unique solution $\ell=\frac{b}{1-a}$ ; la suite $v_n=u_n-\ell$ vérifie $v_{n+1}=a\,v_n$ , donc $v_n=v_0\,a^n$ et $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $a\neq 1$ (sinon la suite est arithmétique de raison $b$ ), puis je cherche le point fixe $\ell$ en résolvant $\ell=a\ell+b$ , ce qui donne $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
2
Je pose $v_n=u_n-\ell$ et je calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=au_n+b-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
3
J'en déduis $v_n=v_0\,a^n=(u_0-\ell)a^n$ puis $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Exprimer $u_n$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

a\neq 1

(sinon la suite est arithmétique de raison

b

), puis je cherche le point fixe

\ell

en résolvant

\ell=a\ell+b

, ce qui donne

\ell=\frac{b}{1-a}

Ici $a=\frac{1}{2}\neq 1$ , $b=3$ . Je résous $\ell=\frac{1}{2}\ell+3$ , soit $\frac{1}{2}\ell=3$ donc $\ell=6$ .

Étape 2 —

Je pose

v_n=u_n-\ell

et je calcule

v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=au_n+b-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n

, donc

(v_n)

est géométrique de raison

a

Je pose $v_n=u_n-6$ . Alors $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{2}u_n+3-6=\frac{1}{2}(u_n-6)=\frac{1}{2}v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , avec $v_0=u_0-6=4$ .

Étape 3 —

J'en déduis

v_n=v_0\,a^n=(u_0-\ell)a^n

puis

u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n

D'où $v_n=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $u_n=6+4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

$u_n=6+4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

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