Comment calculer explicitement… : En appliquant les formules u_n = u_0 +… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?

En appliquant les formules $u_n = u_0 + nr$ (arithmétique) ou $u_n = u_0 q^n$ (géométrique)

Exprimer le terme général $u_n$ d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de $n$ et du premier terme.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+3$ . Donner l'expression de $u_n$ et représenter $u_0,u_1,u_2,u_3$ .

L'objectif

Exprimer le terme général $u_n$ d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de $n$ et du premier terme.

Le principe

Si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+r$ , alors $u_n=u_0+nr$ ; si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=q\,u_n$ , alors $u_n=u_0\,q^n$ .

La méthode

1
Je reconnais la nature de la suite : si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante égale à $r$ , la suite est arithmétique de raison $r$ ; si le rapport $u_{n+1}/u_n$ est constant égal à $q$ (en supposant $u_n\neq 0$ ), elle est géométrique de raison $q$ .
2
Je lis le premier terme $u_0$ (ou $u_1$ selon l'indice de départ) et la raison $r$ ou $q$ .
3
J'applique la formule : $u_n=u_0+nr$ pour une suite arithmétique, $u_n=u_0\,q^n$ pour une suite géométrique, en adaptant l'indice de départ si besoin ( $u_n=u_p+(n-p)r$ ou $u_n=u_p\,q^{n-p}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+3$ . Donner l'expression de $u_n$ et représenter $u_0,u_1,u_2,u_3$ .

Étape 1 —

Je reconnais la nature de la suite : si la différence

u_{n+1}-u_n

est constante égale à

r

, la suite est arithmétique de raison

r

; si le rapport

u_{n+1}/u_n

est constant égal à

q

(en supposant

u_n\neq 0

), elle est géométrique de raison

q

La différence $u_{n+1}-u_n=3$ est constante : la suite est arithmétique de raison $r=3$ .

Étape 2 —

Je lis le premier terme

u_0

(ou

u_1

selon l'indice de départ) et la raison

r

q

Le premier terme est $u_0=2$ et la raison vaut $r=3$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

u_n=u_0+nr

pour une suite arithmétique,

u_n=u_0\,q^n

pour une suite géométrique, en adaptant l'indice de départ si besoin (

u_n=u_p+(n-p)r

u_n=u_p\,q^{n-p}

Donc $u_n=u_0+nr=2+3n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

$u_n=2+3n$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?

En appliquant les formules un=u0+nru_n = u_0 + nrun​=u0​+nr (arithmétique) ou un=u0qnu_n = u_0 q^nun​=u0​qn (géométrique)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant les formules $u_n = u_0 + nr$ (arithmétique) ou $u_n = u_0 q^n$ (géométrique)