Comment utiliser le théorème des suites adjacentes ?

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)!}>0$, donc $(u_n)$ croissante. Pour $(v_n)$ : après calcul, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n\cdot n!}<0$ (vérifiable par mise au même dénominateur), donc $(v_n)$ décroissante.

$v_n-u_n=\dfrac{1}{n\cdot n!}\to 0$ car le dénominateur tend vers $+\infty$.

Par le théorème des suites adjacentes, $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite $\ell$ (qui vaut $e$), avec $u_n\le \ell\le v_n$.