Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $(AB) \perp (AC)$ avec $z_A = 1$ , $z_B = 1+2i$ , $z_C = 3$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
2
Vérifier que $a = \mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $(AB) \perp (AC)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $(AB) \perp (AC)$ avec $z_A = 1$ , $z_B = 1+2i$ , $z_C = 3$ .

1

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{2}{2i} = \frac{1}{i} = -i$ .

2

$\mathrm{Re}(-i) = 0$ : le rapport est imaginaire pur, donc $(AB) \perp (AC)$ .

$(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

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Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant la perpendicularité de (AB)(AB)(AB) et (AC)(AC)(AC) : vérifier que zC−zAzB−zA∈iR\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈iR (partie réelle nulle)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)