Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ? | MetMat

Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En calculant $\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ pour obtenir l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$

Calculer l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ à partir des affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

L'objectif

Calculer l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ à partir des affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

Le principe

L'argument du rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ donne l'angle orienté de la rotation qui envoie $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AC}$ , c'est-à-dire $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} = \arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a+ib$ (en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur si nécessaire).
2
Calculer l'argument $\theta = \arg(a+ib)$ à l'aide des formules $\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , ou reconnaître directement un argument remarquable ( $0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}$ , etc.).
Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Avec $z_A = 1$ , $z_B = 3$ , $z_C = 1+2i$ , calculer l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ .

Étape 1 —

Former le rapport

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}

et le mettre sous forme algébrique

a+ib

(en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur si nécessaire).

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{(1+2i)-1}{3-1} = \frac{2i}{2} = i$ .

Étape 2 —

Calculer l'argument

\theta = \arg(a+ib)

à l'aide des formules

\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

\sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

, ou reconnaître directement un argument remarquable (

0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}

, etc.).

$\arg(i) = \frac{\pi}{2}$ , donc $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} = \frac{\pi}{2}$ : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

$\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} = \dfrac{\pi}{2}$

Application guidée

Avec $z_A = 0$ , $z_B = 2$ , $z_C = 1+i\sqrt{3}$ , calculer l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ .

Application autonome 1

Avec $z_A = i$ , $z_B = 1+i$ , $z_C = i+1+i = 1+2i$ , calculer l'angle $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ .

Application autonome 2

Avec $z_A = 1+i$ , $z_B = 3+i$ , $z_C = 1+3i$ , calculer l'angle $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ .

Application autonome 3

Avec $z_A = 2+i$ , $z_B = 4+i$ , $z_C = 2+3i$ , calculer l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ et en déduire la nature du triangle.

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En calculant arg⁡ ⁣(zC−zAzB−zA)\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)arg(zB​−zA​zC​−zA​​) pour obtenir l'angle orienté (AB→,AC→)^\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}(AB,AC)​

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En calculant $\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ pour obtenir l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$