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Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En caractérisant un ensemble de points M(z)M(z) par une équation sur l'affixe zz (module, argument, partie réelle/imaginaire)

L'objectif

Identifier géométriquement l'ensemble des points MM d'affixe zz satisfaisant une condition algébrique sur zz.

Le principe

Une condition sur zz du type ∣z−a∣=r|z-a| = r définit un cercle, ∣z−a∣=∣z−b∣|z-a| = |z-b| une médiatrice, Re(z)=c\mathrm{Re}(z) = c ou Im(z)=c\mathrm{Im}(z) = c une droite, arg⁡(z−a)=θ\arg(z-a) = \theta une demi-droite.

La méthode
  1. 1
    Poser z=x+iyz = x+iy (avec x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}) et traduire la condition donnée en une équation cartésienne en xx et yy, ou reconnaître directement la forme géométrique à partir de la condition sur zz.
  2. 2
    Identifier la nature de l'ensemble : cercle (∣z−a∣=r|z-a|=r), droite, demi-plan, demi-droite, etc., et préciser son centre, rayon ou toute caractéristique pertinente.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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