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Nombres complexes : Géométrie — cours et méthodes maths expertes | MetMat
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Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
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Nombres complexes : Géométrie
Racines
n
n
n
-ièmes de l'unité et application des nombres complexes à la géométrie plane.
Maîtriser
Reconnaître
Résoudre
0/9 maîtrisées
1
Maîtriser
Comment déterminer les racines
n
n
n
-ièmes de l'unité ?
En résolvant
z
n
=
1
z^n = 1
z
n
=
1
avec
z
=
e
i
θ
z = e^{i\theta}
z
=
e
i
θ
: les
n
n
n
racines sont
ω
k
=
e
2
i
k
π
/
n
\omega_k = e^{2ik\pi/n}
ω
k
=
e
2
ik
π
/
n
pour
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
k = 0, 1, \ldots, n-1
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
Nouveau
En représentant géométriquement les
n
n
n
racines comme sommets d'un polygone régulier à
n
n
n
côtés inscrit dans le cercle unité, avec
ω
0
=
1
\omega_0 = 1
ω
0
=
1
Nouveau
Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?
En calculant
∣
z
B
−
z
A
∣
|z_B - z_A|
∣
z
B
−
z
A
∣
pour obtenir la longueur
A
B
AB
A
B
Nouveau
En calculant
arg
(
z
C
−
z
A
z
B
−
z
A
)
\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)
ar
g
(
z
B
−
z
A
z
C
−
z
A
)
pour obtenir l'angle orienté
(
A
B
→
,
A
C
→
)
^
\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}
(
A
B
,
A
C
)
Nouveau
En montrant l'alignement de
A
A
A
,
B
B
B
,
C
C
C
: vérifier que
z
C
−
z
A
z
B
−
z
A
∈
R
\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}
z
B
−
z
A
z
C
−
z
A
∈
R
(partie imaginaire nulle)
Nouveau
En montrant la perpendicularité de
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
A
C
)
(AC)
(
A
C
)
: vérifier que
z
C
−
z
A
z
B
−
z
A
∈
i
R
\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}
z
B
−
z
A
z
C
−
z
A
∈
i
R
(partie réelle nulle)
Nouveau
En caractérisant un ensemble de points
M
(
z
)
M(z)
M
(
z
)
par une équation sur l'affixe
z
z
z
(module, argument, partie réelle/imaginaire)
Nouveau
Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de
c
−
a
b
−
a
\dfrac{c-a}{b-a}
b
−
a
c
−
a
?
En calculant
∣
c
−
a
b
−
a
∣
=
A
C
A
B
\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}
b
−
a
c
−
a
=
A
B
A
C
: c'est le rapport des longueurs
A
C
AC
A
C
et
A
B
AB
A
B
Nouveau
En calculant
arg
(
c
−
a
b
−
a
)
=
(
A
B
→
,
A
C
→
)
^
\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right) = \widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}
ar
g
(
b
−
a
c
−
a
)
=
(
A
B
,
A
C
)
: c'est l'angle orienté de la rotation qui envoie la direction de
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
sur celle de
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.