Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En résolvant $z^n = 1$ avec $z = e^{i\theta}$ : les $n$ racines sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les racines cubiques de l'unité ( $n=3$ ).

La méthode

1
Poser $z = e^{i\theta}$ (on cherche les solutions de module 1 car $|z^n|=|z|^n=1$ impose $|z|=1$ ) et substituer dans $z^n = 1$ pour obtenir $e^{in\theta} = 1$ .
2
Écrire la condition $e^{in\theta} = 1 \Leftrightarrow n\theta = 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$ , soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ .
3
Lister les $n$ valeurs distinctes : $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$ , et conclure que $\mathbb{U}_n = \{\omega_k \mid k = 0, \ldots, n-1\}$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer les racines cubiques de l'unité ( $n=3$ ).

1

On cherche $z = e^{i\theta}$ tel que $e^{3i\theta} = 1$ .

2

$3\theta = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{2k\pi}{3}$ ; pour $k=0,1,2$ on obtient $\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ .

3

Les trois racines sont $\omega_0 = 1$ , $\omega_1 = e^{2i\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\omega_2 = e^{4i\pi/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\mathbb{U}_3 = \left\{1,\ -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment déterminer les racines nnn-ièmes de l'unité ?

En résolvant zn=1z^n = 1zn=1 avec z=eiθz = e^{i\theta}z=eiθ : les nnn racines sont ωk=e2ikπ/n\omega_k = e^{2ik\pi/n}ωk​=e2ikπ/n pour k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1k=0,1,…,n−1

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En résolvant $z^n = 1$ avec $z = e^{i\theta}$ : les $n$ racines sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$