Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$

L'objectif

Représenter les racines $n$ -ièmes de l'unité dans le plan complexe et exploiter la symétrie du polygone régulier associé.

Le principe

Les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité $\mathcal{C}(O,1)$ , le premier sommet étant le point d'affixe $1$ .

La méthode

1
Placer $\omega_0 = 1$ sur le cercle unité, puis placer chaque $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ en tournant d'un angle $\frac{2\pi}{n}$ à chaque fois dans le sens trigonométrique.
2
Vérifier que les $n$ points forment un polygone régulier à $n$ côtés : tous les côtés ont la même longueur $2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$ et tous les angles au centre sont égaux à $\frac{2\pi}{n}$ .
3
Utiliser la symétrie du polygone pour lire des propriétés géométriques : par exemple, les racines conjuguées se correspondent par symétrie axiale par rapport à l'axe réel, et $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En représentant géométriquement les nnn racines comme sommets d'un polygone régulier à nnn côtés inscrit dans le cercle unité, avec ω0=1\omega_0 = 1ω0​=1

Exemple corrigé

En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$