Comment déterminer les racines… : En représentant géométriquement les n… — maths expertes | MetMat

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Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Représenter les racines cubiques de l'unité et identifier le polygone formé.

La méthode

1
Placer $\omega_0 = 1$ sur le cercle unité, puis placer chaque $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ en tournant d'un angle $\frac{2\pi}{n}$ à chaque fois dans le sens trigonométrique.
2
Vérifier que les $n$ points forment un polygone régulier à $n$ côtés : tous les côtés ont la même longueur $2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$ et tous les angles au centre sont égaux à $\frac{2\pi}{n}$ .
3
Utiliser la symétrie du polygone pour lire des propriétés géométriques : par exemple, les racines conjuguées se correspondent par symétrie axiale par rapport à l'axe réel, et $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Représenter les racines cubiques de l'unité et identifier le polygone formé.

Placer $\omega_0 = 1$ , puis $\omega_1 = e^{2i\pi/3}$ (angle $\frac{2\pi}{3}$ du premier) et $\omega_2 = e^{4i\pi/3}$ (angle $\frac{4\pi}{3}$ ) sur le cercle unité.

Les trois points sont équidistants sur le cercle ; chaque côté a longueur $2\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ et les angles au centre valent $\frac{2\pi}{3}$ .

Le triangle $\omega_0\omega_1\omega_2$ est équilatéral, et $1 + \omega_1 + \omega_2 = 0$ , ce qu'on vérifie : $1 + (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ .

Les trois racines forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité, et leur somme vaut $0$ .

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Comment déterminer les racines nnn-ièmes de l'unité ?

En représentant géométriquement les nnn racines comme sommets d'un polygone régulier à nnn côtés inscrit dans le cercle unité, avec ω0=1\omega_0 = 1ω0​=1

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$