Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les points d'affixes $z_A = 1$ , $z_B = 2+i$ , $z_C = 4+3i$ sont-ils alignés ?

La méthode

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Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
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Vérifier que $b = \mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Les points d'affixes $z_A = 1$ , $z_B = 2+i$ , $z_C = 4+3i$ sont-ils alignés ?

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$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{3+3i}{1+i} = \frac{(3+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3-3i+3i-3i^2}{2} = \frac{3+3}{2} = 3$ .

2

$\mathrm{Im}(3) = 0$ : le rapport est réel, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

Oui, $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

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Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant l'alignement de AAA, BBB, CCC : vérifier que zC−zAzB−zA∈R\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈R (partie imaginaire nulle)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)