Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)

L'objectif

Montrer que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés à partir de leurs affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

Le principe

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un réel, c'est-à-dire si son argument est $0$ ou $\pi$ (modulo $\pi$ ), ce qui équivaut à $\mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
2
Vérifier que $b = \mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En montrant l'alignement de AAA, BBB, CCC : vérifier que zC−zAzB−zA∈R\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈R (partie imaginaire nulle)

Exemple corrigé

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)