Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ? | MetMat

Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)

Montrer que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés à partir de leurs affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

L'objectif

Montrer que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés à partir de leurs affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

Le principe

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un réel, c'est-à-dire si son argument est $0$ ou $\pi$ (modulo $\pi$ ), ce qui équivaut à $\mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
2
Vérifier que $b = \mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Les points d'affixes $z_A = 1$ , $z_B = 2+i$ , $z_C = 4+3i$ sont-ils alignés ?

Étape 1 —

Former le rapport

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}

et le mettre sous forme algébrique

a + ib

(multiplier par le conjugué du dénominateur).

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{3+3i}{1+i} = \frac{(3+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3-3i+3i-3i^2}{2} = \frac{3+3}{2} = 3$ .

Étape 2 —

Vérifier que

b = \mathrm{Im}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0

: si c'est le cas, conclure que

A

B

C

sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

$\mathrm{Im}(3) = 0$ : le rapport est réel, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

Oui, $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

Application guidée

Les points d'affixes $z_A = 0$ , $z_B = 1+i$ , $z_C = 2+3i$ sont-ils alignés ?

Application autonome 1

Montrer que les points $A(1+i)$ , $B(3+2i)$ , $C(7+4i)$ sont alignés.

Application autonome 2

Montrer que $O(0)$ , $A(1+2i)$ , $B(-2-4i)$ sont alignés.

Application autonome 3

Les points d'affixes $z_A = 2 + i$ , $z_B = 5 + 2i$ , $z_C = -1$ sont-ils alignés ?

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant l'alignement de AAA, BBB, CCC : vérifier que zC−zAzB−zA∈R\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈R (partie imaginaire nulle)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle)