Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ? | MetMat

Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En calculant $|z_B - z_A|$ pour obtenir la longueur $AB$

Calculer la longueur d'un segment $[AB]$ à partir des affixes $z_A$ et $z_B$ des points $A$ et $B$ .

L'objectif

Calculer la longueur d'un segment $[AB]$ à partir des affixes $z_A$ et $z_B$ des points $A$ et $B$ .

Le principe

La distance entre deux points d'affixes $z_A$ et $z_B$ est le module de leur différence : $AB = |z_B - z_A|$ .

La méthode

1
Former la différence $z_B - z_A$ et calculer son module $|z_B - z_A| = \sqrt{(\mathrm{Re}(z_B-z_A))^2 + (\mathrm{Im}(z_B-z_A))^2}$ .
2
Simplifier l'expression obtenue (factoriser, utiliser $|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$ ) pour obtenir la longueur $AB$ en valeur exacte.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer la longueur $AB$ avec $z_A = 1+i$ et $z_B = 4+5i$ .

Étape 1 —

Former la différence

z_B - z_A

et calculer son module

|z_B - z_A| = \sqrt{(\mathrm{Re}(z_B-z_A))^2 + (\mathrm{Im}(z_B-z_A))^2}

$z_B - z_A = (4+5i)-(1+i) = 3+4i$ , donc $|z_B - z_A| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$ .

Étape 2 —

Simplifier l'expression obtenue (factoriser, utiliser

|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}

) pour obtenir la longueur

AB

en valeur exacte.

$AB = 5$ .

$AB = 5$

Application guidée

Calculer la longueur $AB$ avec $z_A = -1+i\sqrt{3}$ et $z_B = 2$ .

Application autonome 1

Montrer que le triangle d'affixes $z_A = 0$ , $z_B = 2$ , $z_C = 1+i\sqrt{3}$ est équilatéral.

Application autonome 2

Calculer la longueur $AB$ avec $z_A = 3-2i$ et $z_B = -1+i$ .

Application autonome 3

Calculer le périmètre du carré d'affixes $1, i, -1, -i$ .

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