Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable à densité ?

En revenant à la définition $V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$

Calculer la variance d'une variable à densité en utilisant directement sa définition comme espérance du carré de la variable centrée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{U}([a,b])$ avec $a<b$ . Calculer $V(X)$ par la définition.

L'objectif

Calculer la variance d'une variable à densité en utilisant directement sa définition comme espérance du carré de la variable centrée.

Le principe

Par définition, si $X$ admet un moment d'ordre 2, alors $V(X)=E\bigl((X-E(X))^2\bigr)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ (par transfert appliqué à $g(t)=(t-E(X))^2$ ).

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ par transfert et je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre 2 (convergence de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ ).
2
Je pose $m=E(X)$ et j'écris $V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-m)^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par transfert appliqué à $g(t)=(t-m)^2$ .
3
Je calcule l'intégrale en développant $(t-m)^2$ ou en effectuant le changement de variable $u=t-m$ .
4
Je donne $V(X)$ et, si nécessaire, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{U}([a,b])$ avec $a<b$ . Calculer $V(X)$ par la définition.

Étape 1 —

Je calcule

E(X)

par transfert et je vérifie que

X

admet un moment d'ordre 2 (convergence de

\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

).

Densité $f_X(t)=\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $X$ à support borné donc moments d'ordre 2 existent. On a $E(X)=\frac{a+b}{2}=m$ .

Étape 2 —

Je pose

m=E(X)

et j'écris

V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-m)^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

par transfert appliqué à

g(t)=(t-m)^2

.

$V(X)=\int_a^b (t-m)^2\cdot\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 3 —

Je calcule l'intégrale en développant

(t-m)^2

ou en effectuant le changement de variable

u=t-m

.

Changement de variable $u=t-m$ : $V(X)=\frac{1}{b-a}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\,\mathrm{d}u=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3=\frac{(b-a)^2}{12}$ .

Étape 4 —

Je donne

V(X)

et, si nécessaire,

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

.

Donc $V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$ et $\sigma(X)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$ .

$V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

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,

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,

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et

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Pour comprendre, fais des exercices !

En revenant à la définition $V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$