L'objectif

Déterminer l'ensemble $\{x \in \mathbb{R}^n : \nabla f(x) = 0\}$ des points critiques d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Le principe

Un point $x \in \mathbb{R}^n$ est un point critique de $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ si et seulement si $\nabla f(x) = 0_{\mathbb{R}^n}$ , c'est-à-dire si $\partial_i f(x) = 0$ pour tout $i \in \{1,\ldots,n\}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U$ où je cherche les points critiques (usuellement $U=\mathbb{R}^n$ ).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule explicitement les $n$ dérivées partielles $\partial_1 f,\ldots,\partial_n f$ .
3
J'écris le système $\{\partial_i f(x) = 0\,,\, i=1,\ldots,n\}$ et je le résous (par substitution, élimination, factorisation).
4
Je liste toutes les solutions obtenues : ce sont les points critiques de $f$ sur $U$ .

Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En résolvant le système $\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0$ sur l'ouvert de définition

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe C1\mathcal{C}^1C1 ?

En résolvant le système ∂1f(x)=⋯=∂nf(x)=0\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0∂1​f(x)=⋯=∂n​f(x)=0 sur l'ouvert de définition

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En résolvant le système $\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0$ sur l'ouvert de définition