Théorème de Schwarz (admis) : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ , alors pour tous $i,j$ et tout $x\in \Omega$ , $\partial^2_{ij} f(x) = \partial^2_{ji} f(x)$ , ce qui entraîne ${}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)$ .

Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?

En vérifiant que fff est C2\mathcal{C}^2C2 puis en appliquant ∂ij2f=∂ji2f\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f∂ij2​f=∂ji2​f (admis), d'où t∇2f=∇2f{}^t \nabla^2 f = \nabla^2 ft∇2f=∇2f

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$