Comment calculer la matrice… : En calculant les partial_i f puis les… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer la matrice hessienne $\nabla^2 f(x)$ d'une fonction $\mathcal{C}^2$ ?

En calculant les $\partial_i f$ puis les $\partial^2_{ij} f$ et en plaçant $\partial^2_{ij} f(x)$ ligne $i$ colonne $j$

Obtenir explicitement $\nabla^2 f(x) = \left(\partial^2_{ij} f(x)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ pour une fonction $\mathcal{C}^2$ donnée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 + 3 x y + 2 y^2$ . Calculer $\nabla^2 f(x,y)$ .

L'objectif

Obtenir explicitement $\nabla^2 f(x) = \left(\partial^2_{ij} f(x)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ pour une fonction $\mathcal{C}^2$ donnée.

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$ , sa matrice hessienne en $x\in \Omega$ est $\nabla^2 f(x) = \left(\partial^2_{ij} f(x)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ , avec $\partial^2_{ij} f = \partial_i(\partial_j f)$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ , puis je calcule les dérivées partielles d'ordre $1$ : $\partial_1 f, \dots, \partial_n f$ .
2
Je calcule les dérivées partielles d'ordre $2$ : $\partial^2_{ij} f = \partial_i(\partial_j f)$ pour tous $i,j \in \{1,\dots,n\}$ (Schwarz me permet de n'en calculer que la moitié).
3
Je range les coefficients dans une matrice carrée $n\times n$ : ligne $i$ , colonne $j$ $= \partial^2_{ij} f(x)$ , ce qui fournit $\nabla^2 f(x)$ .
4
J'évalue éventuellement cette matrice en un point précis $x_0$ demandé par l'énoncé.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 + 3 x y + 2 y^2$ . Calculer $\nabla^2 f(x,y)$ .

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

, puis je calcule les dérivées partielles d'ordre

1

\partial_1 f, \dots, \partial_n f

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . Je calcule : $\partial_1 f(x,y) = 2x + 3y$ et $\partial_2 f(x,y) = 3x + 4y$ .

Étape 2 —

Je calcule les dérivées partielles d'ordre

2

\partial^2_{ij} f = \partial_i(\partial_j f)

pour tous

i,j \in \{1,\dots,n\}

(Schwarz me permet de n'en calculer que la moitié).

Puis $\partial^2_{11} f = 2$ , $\partial^2_{12} f = 3$ , $\partial^2_{21} f = 3$ , $\partial^2_{22} f = 4$ (cohérent avec Schwarz).

Étape 3 —

Je range les coefficients dans une matrice carrée

n\times n

: ligne

i

, colonne

j

= \partial^2_{ij} f(x)

, ce qui fournit

\nabla^2 f(x)

Je range ces coefficients : $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

J'évalue éventuellement cette matrice en un point précis

x_0

demandé par l'énoncé.

La hessienne est constante (car $f$ est quadratique), donc identique en tout point.

$\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la matrice hessienne $\nabla^2 f(x)$ d'une fonction $\mathcal{C}^2$ ?

En calculant les $\partial_i f$ puis les $\partial^2_{ij} f$ et en plaçant $\partial^2_{ij} f(x)$ ligne $i$ colonne $j$