Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

Je pose $u(x,y) = x^2 + y^2$ et $\varphi(t) = e^t$ ; ainsi $f = \varphi \circ u$.

$u$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $I = [0,+\infty[ \subset \mathbb{R}$ ; $\varphi = \exp$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$.

Par composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$, $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$.