Comment montrer que la somme de… : En montrant que la seule décomposition… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En montrant que la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale

Démontrer rigoureusement le caractère direct d'une somme par la caractérisation par le vecteur nul.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $F = \mathrm{Vect}((1, 1))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1))$ dans $\mathbb{R}^2$ . Montrer que la somme $F + G$ est directe.

L'objectif

Démontrer rigoureusement le caractère direct d'une somme par la caractérisation par le vecteur nul.

Le principe

Une somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe si et seulement si la seule écriture du vecteur nul de la forme $x_1 + \dots + x_k$ avec $x_i \in F_i$ est obtenue pour $x_1 = \dots = x_k = 0$ .

La méthode

1
Je fixe $x_i \in F_i$ pour $i = 1, \dots, k$ tels que $x_1 + \dots + x_k = 0$ .
2
J'exploite les hypothèses sur les $F_i$ (inclusions, dimensions, propriétés algébriques) pour déduire successivement $x_1 = 0$ , puis $x_2 = 0$ , …, $x_k = 0$ .
3
Je conclus que la somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $F = \mathrm{Vect}((1, 1))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1))$ dans $\mathbb{R}^2$ . Montrer que la somme $F + G$ est directe.

Étape 1 —

Je fixe

x_i \in F_i

pour

i = 1, \dots, k

tels que

x_1 + \dots + x_k = 0

Soient $x \in F$ et $y \in G$ tels que $x + y = 0$ ; il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ avec $x = \alpha(1, 1)$ et $y = \beta(1, -1)$ , donc $\alpha(1,1) + \beta(1,-1) = 0$ .

Étape 2 —

J'exploite les hypothèses sur les

F_i

(inclusions, dimensions, propriétés algébriques) pour déduire successivement

x_1 = 0

, puis

x_2 = 0

, …,

x_k = 0

Cela donne le système $\alpha + \beta = 0$ et $\alpha - \beta = 0$ , d'où $\alpha = \beta = 0$ , donc $x = y = 0$ .

Étape 3 —

Je conclus que la somme

F_1 + \dots + F_k

est directe.

Donc la somme $F + G$ est directe : $F \oplus G$ .

$F \oplus G$ .

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Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels F1,…,FkF_1,\dots,F_kF1​,…,Fk​ est directe ?

En montrant que la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?