Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?

Posons $f(x) = \frac{1}{2+x}$. Calculons $u_1 = f(1) = \frac{1}{3} < 1 = u_0$. Montrons par récurrence que $(u_n)$ est décroissante : si $u_{n+1} \leq u_n$, alors comme $f$ est décroissante, $u_{n+2} = f(u_{n+1}) \geq f(u_n) = u_{n+1}$... Étudions plutôt le signe de $u_{n+1} - u_n$ directement. $u_1 - u_0 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} < 0$. On peut montrer par récurrence que $u_{n+1} \leq u_n$.

Montrons par récurrence que $u_n > 0$ pour tout $n$ (minorant) : $u_0 = 1 > 0$, et si $u_n > 0$ alors $u_{n+1} = \frac{1}{2+u_n} > 0$. Donc $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$.

Par le théorème des suites monotones bornées, la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell \geq 0$.

En passant à la limite dans $u_{n+1} = \frac{1}{2 + u_n}$ : $\ell = \frac{1}{2 + \ell}$, soit $\ell(2+\ell) = 1$, i.e. $\ell^2 + 2\ell - 1 = 0$. Les solutions sont $\ell = -1 \pm \sqrt{2}$. Comme $\ell \geq 0$, on retient $\ell = -1 + \sqrt{2}$.