Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?

En identifiant $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ puis en déterminant $\theta$ dans $[0, 2\pi[$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer un argument de $z = 1 + i$ .

La méthode

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Calculer le module $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
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Poser les deux équations $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ , puis identifier $\theta$ dans $[0, 2\pi[$ (ou $]-\pi, \pi]$ ) en s'appuyant sur le signe de chaque composante pour déterminer le quadrant.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer un argument de $z = 1 + i$ .

1

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

2

$\cos\theta = 1/\sqrt{2}$ et $\sin\theta = 1/\sqrt{2}$ : les deux valeurs sont positives, donc $\theta$ est dans le premier quadrant, d'où $\theta = \pi/4$ .

$\arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}$

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Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?

En identifiant cos⁡θ=x/∣z∣\cos\theta = x/|z|cosθ=x/∣z∣ et sin⁡θ=y/∣z∣\sin\theta = y/|z|sinθ=y/∣z∣ puis en déterminant θ\thetaθ dans [0,2π[[0, 2\pi[[0,2π[

Pour comprendre, passons aux exercices.

En identifiant $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ puis en déterminant $\theta$ dans $[0, 2\pi[$