Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?

En utilisant $\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\arg\bigl((1+i)(1+i\sqrt{3})\bigr)$ .

La méthode

1
Décomposer le nombre complexe en produit (ou quotient) de facteurs dont les arguments sont connus ou faciles à calculer.
2
Appliquer la propriété d'additivité des arguments et réduire le résultat modulo $2\pi$ dans l'intervalle choisi.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $\arg\bigl((1+i)(1+i\sqrt{3})\bigr)$ .

1

$\arg(1+i) = \pi/4$ et $\arg(1+i\sqrt{3}) = \pi/3$ .

2

$\arg\bigl((1+i)(1+i\sqrt{3})\bigr) \equiv \pi/4 + \pi/3 = 7\pi/12 \pmod{2\pi}$ .

$\dfrac{7\pi}{12}$

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Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?

En utilisant arg⁡(z1z2)≡arg⁡z1+arg⁡z2(mod2π)\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}arg(z1​z2​)≡argz1​+argz2​(mod2π)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant $\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}$