En utilisant $\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}$

Déterminer l'argument d'un produit (ou d'un quotient) de nombres complexes sans développer.

L'objectif

Déterminer l'argument d'un produit (ou d'un quotient) de nombres complexes sans développer.

Le principe

La propriété $\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}$ (et $\arg(z_1/z_2) \equiv \arg z_1 - \arg z_2$ ) permet de ramener le calcul à des arguments simples.

La méthode

1
Décomposer le nombre complexe en produit (ou quotient) de facteurs dont les arguments sont connus ou faciles à calculer.
2
Appliquer la propriété d'additivité des arguments et réduire le résultat modulo $2\pi$ dans l'intervalle choisi.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $\arg\bigl((1+i)(1+i\sqrt{3})\bigr)$ .

Étape 1 —

Décomposer le nombre complexe en produit (ou quotient) de facteurs dont les arguments sont connus ou faciles à calculer.

$\arg(1+i) = \pi/4$ et $\arg(1+i\sqrt{3}) = \pi/3$ .

Étape 2 —

Appliquer la propriété d'additivité des arguments et réduire le résultat modulo

2\pi

dans l'intervalle choisi.

$\arg\bigl((1+i)(1+i\sqrt{3})\bigr) \equiv \pi/4 + \pi/3 = 7\pi/12 \pmod{2\pi}$ .

$\dfrac{7\pi}{12}$

Application guidée

Calculer $\arg\left(\dfrac{-1+i}{1-i}\right)$ .

Application autonome 1

Calculer $\arg\bigl((\sqrt{3}+i)(-1-i\sqrt{3})\bigr)$ .

Application autonome 2

Calculer $\arg\left(\dfrac{(1+i)^2}{\sqrt{3}-i}\right)$ .

Application autonome 3

Calculer $\arg\bigl((1+i)^3(\sqrt{3}-i)\bigr)$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant arg⁡(z1z2)≡arg⁡z1+arg⁡z2(mod2π)\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}arg(z1​z2​)≡argz1​+argz2​(mod2π)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}$