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Nombres complexes : Module, argument et formes — cours et méthodes… | MetMat
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Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
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Nombres complexes : Module, argument et formes
Argument, forme trigonométrique et exponentielle, formules d'Euler et de Moivre.
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1
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Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?
En identifiant
cos
θ
=
x
/
∣
z
∣
\cos\theta = x/|z|
cos
θ
=
x
/∣
z
∣
et
sin
θ
=
y
/
∣
z
∣
\sin\theta = y/|z|
sin
θ
=
y
/∣
z
∣
puis en déterminant
θ
\theta
θ
dans
[
0
,
2
π
[
[0, 2\pi[
[
0
,
2
π
[
Nouveau
En utilisant
arg
(
z
1
z
2
)
≡
arg
z
1
+
arg
z
2
(
m
o
d
2
π
)
\arg(z_1 z_2) \equiv \arg z_1 + \arg z_2 \pmod{2\pi}
ar
g
(
z
1
z
2
)
≡
ar
g
z
1
+
ar
g
z
2
(
mod
2
π
)
Nouveau
En utilisant
arg
(
z
n
)
≡
n
arg
z
(
m
o
d
2
π
)
\arg(z^n) \equiv n\arg z \pmod{2\pi}
ar
g
(
z
n
)
≡
n
ar
g
z
(
mod
2
π
)
et
arg
(
z
ˉ
)
≡
−
arg
z
\arg(\bar{z}) \equiv -\arg z
ar
g
(
z
ˉ
)
≡
−
ar
g
z
Nouveau
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?
En calculant
r
=
∣
z
∣
r = |z|
r
=
∣
z
∣
puis
θ
\theta
θ
tel que
cos
θ
=
x
/
r
\cos\theta = x/r
cos
θ
=
x
/
r
et
sin
θ
=
y
/
r
\sin\theta = y/r
sin
θ
=
y
/
r
, et en écrivant
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
r
e
i
θ
z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
r
e
i
θ
Nouveau
En passant de la forme exponentielle
r
e
i
θ
re^{i\theta}
r
e
i
θ
à la forme algébrique via
r
cos
θ
+
i
r
sin
θ
r\cos\theta + ir\sin\theta
r
cos
θ
+
i
r
sin
θ
Nouveau
Comment multiplier ou diviser des nombres complexes en forme exponentielle ?
Nouveau
Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ?
En linéarisant : exprimer
cos
n
θ
\cos^n\theta
cos
n
θ
ou
sin
n
θ
\sin^n\theta
sin
n
θ
à l'aide de
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
cos
θ
=
2
e
i
θ
+
e
−
i
θ
et
sin
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
sin
θ
=
2
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
Nouveau
En développant
e
i
n
θ
=
(
e
i
θ
)
n
e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n
e
in
θ
=
(
e
i
θ
)
n
et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer
cos
(
n
θ
)
\cos(n\theta)
cos
(
n
θ
)
et
sin
(
n
θ
)
\sin(n\theta)
sin
(
n
θ
)
en termes de
cos
θ
\cos\theta
cos
θ
et
sin
θ
\sin\theta
sin
θ
Nouveau
Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?
En calculant
z
n
=
r
n
e
i
n
θ
z^n = r^n e^{in\theta}
z
n
=
r
n
e
in
θ
avec la notation exponentielle lorsque
z
=
r
e
i
θ
z = re^{i\theta}
z
=
r
e
i
θ
Nouveau
En développant
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
(\cos\theta + i\sin\theta)^n
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir
cos
(
n
θ
)
\cos(n\theta)
cos
(
n
θ
)
et
sin
(
n
θ
)
\sin(n\theta)
sin
(
n
θ
)
Nouveau
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