Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Retrouver les formules $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ via le binôme de Newton.

La méthode

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Écrire $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}\theta\,(i\sin\theta)^k$ et simplifier en séparant les puissances paires ( $i^k$ réel) et impaires ( $i^k$ imaginaire pur).
2
Identifier la partie réelle avec $\cos(n\theta)$ (termes en $k$ pair) et la partie imaginaire avec $\sin(n\theta)$ (termes en $k$ impair), puis simplifier éventuellement en utilisant $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ pour n'exprimer qu'en $\cos\theta$ ou $\sin\theta$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Retrouver les formules $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ via le binôme de Newton.

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$(c+is)^2 = c^2 + 2c(is) + (is)^2 = c^2 - s^2 + 2ics$ où $c=\cos\theta$ , $s=\sin\theta$ .

2

Partie réelle : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ . Partie imaginaire : $\sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$ .

$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ , $\quad \sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$

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Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En développant (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta + i\sin\theta)^n(cosθ+isinθ)n par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir cos⁡(nθ)\cos(n\theta)cos(nθ) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta)sin(nθ)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$