Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ? | MetMat

Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En calculant $z^n = r^n e^{in\theta}$ avec la notation exponentielle lorsque $z = re^{i\theta}$

Calculer $z^n$ pour un entier $n$ en exploitant la forme exponentielle pour obtenir un résultat exact et rapide.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $(1+i)^{10}$ .

L'objectif

Calculer $z^n$ pour un entier $n$ en exploitant la forme exponentielle pour obtenir un résultat exact et rapide.

Le principe

Si $z = re^{i\theta}$ , alors $z^n = r^n e^{in\theta}$ , ce qui revient à élever le module à la puissance $n$ et à multiplier l'argument par $n$ .

La méthode

1
Écrire $z$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ (calculer $r = |z|$ et $\theta = \arg z$ ).
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Appliquer $z^n = r^n e^{in\theta}$ et simplifier l'argument modulo $2\pi$ si souhaité ; convertir en forme algébrique si demandé.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $(1+i)^{10}$ .

Étape 1 —

Écrire

z

sous forme exponentielle

re^{i\theta}

(calculer

r = |z|

\theta = \arg z

$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ .

Étape 2 —

Appliquer

z^n = r^n e^{in\theta}

et simplifier l'argument modulo

2\pi

si souhaité ; convertir en forme algébrique si demandé.

$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,e^{i10\pi/4} = 2^5\,e^{i5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$ .

$32i$

Application guidée

Calculer $(\sqrt{3}+i)^6$ .

Application autonome 1

Calculer $(-1+i)^8$ .

Application autonome 2

Calculer $(1-i\sqrt{3})^9$ sous forme algébrique.

Application autonome 3

Calculer $\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{100}$ .

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