Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En calculant $z^n = r^n e^{in\theta}$ avec la notation exponentielle lorsque $z = re^{i\theta}$

L'objectif

Calculer $z^n$ pour un entier $n$ en exploitant la forme exponentielle pour obtenir un résultat exact et rapide.

Le principe

Si $z = re^{i\theta}$ , alors $z^n = r^n e^{in\theta}$ , ce qui revient à élever le module à la puissance $n$ et à multiplier l'argument par $n$ .

La méthode

1
Écrire $z$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ (calculer $r = |z|$ et $\theta = \arg z$ ).
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Appliquer $z^n = r^n e^{in\theta}$ et simplifier l'argument modulo $2\pi$ si souhaité ; convertir en forme algébrique si demandé.

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant zn=rneinθz^n = r^n e^{in\theta}zn=rneinθ avec la notation exponentielle lorsque z=reiθz = re^{i\theta}z=reiθ