Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En calculant $z^n = r^n e^{in\theta}$ avec la notation exponentielle lorsque $z = re^{i\theta}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $(1+i)^{10}$ .

La méthode

1
Écrire $z$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ (calculer $r = |z|$ et $\theta = \arg z$ ).
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Appliquer $z^n = r^n e^{in\theta}$ et simplifier l'argument modulo $2\pi$ si souhaité ; convertir en forme algébrique si demandé.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $(1+i)^{10}$ .

1

$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ .

2

$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,e^{i10\pi/4} = 2^5\,e^{i5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$ .

$32i$

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Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En calculant zn=rneinθz^n = r^n e^{in\theta}zn=rneinθ avec la notation exponentielle lorsque z=reiθz = re^{i\theta}z=reiθ

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $z^n = r^n e^{in\theta}$ avec la notation exponentielle lorsque $z = re^{i\theta}$