En utilisant $\arg(z^n) \equiv n\arg z \pmod{2\pi}$ et $\arg(\bar{z}) \equiv -\arg z$

Déterminer l'argument d'une puissance entière ou d'un conjugué d'un nombre complexe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\arg\bigl((1+i)^8\bigr)$ .

L'objectif

Déterminer l'argument d'une puissance entière ou d'un conjugué d'un nombre complexe.

Le principe

Les formules $\arg(z^n) \equiv n\arg z \pmod{2\pi}$ et $\arg(\bar{z}) \equiv -\arg z \pmod{2\pi}$ permettent de traiter rapidement puissances et conjugués.

La méthode

1
Déterminer l'argument $\theta$ de $z$ (par la méthode des cosinus-sinus si nécessaire).
2
Multiplier par $n$ pour une puissance, ou changer le signe pour le conjugué, puis réduire modulo $2\pi$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\arg\bigl((1+i)^8\bigr)$ .

Étape 1 —

Déterminer l'argument

\theta

z

(par la méthode des cosinus-sinus si nécessaire).

$\arg(1+i) = \pi/4$ .

Étape 2 —

Multiplier par

n

pour une puissance, ou changer le signe pour le conjugué, puis réduire modulo

2\pi

$\arg\bigl((1+i)^8\bigr) \equiv 8 \times \pi/4 = 2\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}$ .

$0$

Application guidée

Calculer $\arg\bigl((\sqrt{3}+i)^6\bigr)$ .

Application autonome 1

Calculer $\arg\bigl(\overline{-1+i\sqrt{3}}\bigr)$ .

Application autonome 2

Calculer $\arg\bigl((1-i)^{10}\bigr)$ .

Application autonome 3

Calculer $\arg\left(\dfrac{\overline{(1+i\sqrt{3})^3}}{(1+i)^4}\right)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant arg⁡(zn)≡narg⁡z(mod2π)\arg(z^n) \equiv n\arg z \pmod{2\pi}arg(zn)≡nargz(mod2π) et arg⁡(zˉ)≡−arg⁡z\arg(\bar{z}) \equiv -\arg zarg(zˉ)≡−argz

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\arg(z^n) \equiv n\arg z \pmod{2\pi}$ et $\arg(\bar{z}) \equiv -\arg z$