En identifiant $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ puis en déterminant $\theta$ dans $[0, 2\pi[$

Calculer un argument d'un nombre complexe $z = x + iy$ à partir de sa forme algébrique.

L'objectif

Calculer un argument d'un nombre complexe $z = x + iy$ à partir de sa forme algébrique.

Le principe

L'argument $\theta$ vérifie simultanément $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ ; c'est la combinaison des deux conditions qui détermine $\theta$ de façon unique dans $[0, 2\pi[$ .

La méthode

1
Calculer le module $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
2
Poser les deux équations $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ , puis identifier $\theta$ dans $[0, 2\pi[$ (ou $]-\pi, \pi]$ ) en s'appuyant sur le signe de chaque composante pour déterminer le quadrant.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer un argument de $z = 1 + i$ .

Étape 1 —

Calculer le module

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Étape 2 —

Poser les deux équations

\cos\theta = x/|z|

\sin\theta = y/|z|

, puis identifier

\theta

dans

[0, 2\pi[

(ou

]-\pi, \pi]

) en s'appuyant sur le signe de chaque composante pour déterminer le quadrant.

$\cos\theta = 1/\sqrt{2}$ et $\sin\theta = 1/\sqrt{2}$ : les deux valeurs sont positives, donc $\theta$ est dans le premier quadrant, d'où $\theta = \pi/4$ .

$\arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}$

Application guidée

Déterminer un argument de $z = -1 + i\sqrt{3}$ .

Application autonome 1

Déterminer un argument de $z = -\sqrt{3} - i$ .

Application autonome 2

Déterminer un argument de $z = 3 - 3i$ .

Application autonome 3

Déterminer un argument de $z = 2\cos(\pi/5) + 2i\sin(\pi/5)$ (sans calcul supplémentaire).

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En identifiant cos⁡θ=x/∣z∣\cos\theta = x/|z|cosθ=x/∣z∣ et sin⁡θ=y/∣z∣\sin\theta = y/|z|sinθ=y/∣z∣ puis en déterminant θ\thetaθ dans [0,2π[[0, 2\pi[[0,2π[

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En identifiant $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$ puis en déterminant $\theta$ dans $[0, 2\pi[$