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Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?

En identifiant cos⁡θ=x/∣z∣\cos\theta = x/|z| et sin⁡θ=y/∣z∣\sin\theta = y/|z| puis en déterminant θ\theta dans [0,2π[[0, 2\pi[

L'objectif

Calculer un argument d'un nombre complexe z=x+iyz = x + iy à partir de sa forme algébrique.

Le principe

L'argument θ\theta vérifie simultanément cos⁡θ=x/∣z∣\cos\theta = x/|z| et sin⁡θ=y/∣z∣\sin\theta = y/|z| ; c'est la combinaison des deux conditions qui détermine θ\theta de façon unique dans [0,2π[[0, 2\pi[.

La méthode
  1. 1
    Calculer le module ∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
    Voir
  2. 2
    Poser les deux équations cos⁡θ=x/∣z∣\cos\theta = x/|z| et sin⁡θ=y/∣z∣\sin\theta = y/|z|, puis identifier θ\theta dans [0,2π[[0, 2\pi[ (ou ]−π,π]]-\pi, \pi]) en s'appuyant sur le signe de chaque composante pour déterminer le quadrant.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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