Comment montrer qu'une variable… : En vérifiant que F_X est continue sur R… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une variable aléatoire $X$ est à densité à partir de sa fonction de répartition ?

En vérifiant que $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points

Établir qu'une variable aléatoire $X$ donnée par sa fonction de répartition est à densité.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de répartition est $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Montrer que $X$ est à densité.

L'objectif

Établir qu'une variable aléatoire $X$ donnée par sa fonction de répartition est à densité.

Le principe

Définition du B.O. : $X$ est une variable aléatoire à densité si et seulement si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points.

La méthode

1
J'écris explicitement $F_X$ sur chacun des intervalles où elle a une expression simple, en repérant les points de raccord éventuels.
2
Je vérifie la continuité de $F_X$ sur $\mathbb{R}$ : continuité sur chaque intervalle ouvert, puis continuité aux points de raccord (limites à gauche = limites à droite).
3
Je vérifie que $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur chaque intervalle ouvert où elle est dérivable, et j'identifie le nombre fini de points exceptionnels (points de raccord où la dérivée peut ne pas exister).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
4
Je conclus : $F_X$ étant continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points, $X$ est bien une variable aléatoire à densité.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de répartition est $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Montrer que $X$ est à densité.

Étape 1 —

J'écris explicitement

F_X

sur chacun des intervalles où elle a une expression simple, en repérant les points de raccord éventuels.

$F_X$ est définie par morceaux sur $]-\infty, 0[$ , $[0, 1]$ et $]1, +\infty[$ ; les points de raccord sont $0$ et $1$ .

Étape 2 —

Je vérifie la continuité de

F_X

sur

\mathbb{R}

: continuité sur chaque intervalle ouvert, puis continuité aux points de raccord (limites à gauche = limites à droite).

Sur chaque intervalle ouvert, $F_X$ est continue (constante ou polynomiale). Aux points de raccord : $F_X(0^-) = 0 = F_X(0)$ et $F_X(1^-) = 1 = F_X(1)$ . Donc $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

F_X

est de classe

\mathcal{C}^1

sur chaque intervalle ouvert où elle est dérivable, et j'identifie le nombre fini de points exceptionnels (points de raccord où la dérivée peut ne pas exister).

Sur $]-\infty, 0[$ , $]0, 1[$ et $]1, +\infty[$ , $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (constante ou polynomiale). Aux points $0$ et $1$ , la dérivée à gauche (nulle) diffère de la dérivée à droite ( $0$ et $2$ respectivement) : $F_X$ n'est pas $\mathcal{C}^1$ en ces deux points.

Étape 4 —

Je conclus :

F_X

étant continue sur

\mathbb{R}

\mathcal{C}^1

sauf en un nombre fini de points,

X

est bien une variable aléatoire à densité.

$F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ (deux points exceptionnels), donc $X$ est à densité.

$X$ est bien une variable aléatoire à densité.

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Comment montrer qu'une variable aléatoire XXX est à densité à partir de sa fonction de répartition ?

En vérifiant que FXF_XFX​ est continue sur R\mathbb{R}R et de classe C1\mathcal{C}^1C1 sauf en un nombre fini de points

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer qu'une variable aléatoire $X$ est à densité à partir de sa fonction de répartition ?

En vérifiant que $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points